zu „Didaktik der Mathematik”

Das LUPI - Spiel | The LUPI - Game

(LUPI - Lowest Unique Positive Integer)

Aktuell: Lehrkräfte Workshop “Das LUPI-Spiel im Mathematikunterricht - Zufall & Strategie - anlog & digital"

  • 06.03.2025 Saarbrücken (Jahrestagung der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik GDM)
  • 14.03.2025 Dresden (6. Lehrkräftefortbildungstag zum Mathematikunterricht der sächsischen Universitäten)

Informationen zu LUPI | Facts on LUPI

Das LUPI-Spiel ist ein Spiel mit folgenden Regeln:

  • Alle Teilnehmenden wählen jeweils geheim eine natürliche Zahl von 1 bis n.
  • Es gewinnt die Person, deren Zahl nur 1x gewählt wurde und die dabei die kleinste ist.
  • Gibt es keine kleinste alleinige Zahl, gewinnt niemand.

Durch diese Spielregeln befindet sich das LUPI-Spiel in einem sowohl für die Fachmathematik als auch die Mathematikdidaktik interessanten Spannungsfeld zwischen Strategie und Zufall.

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The rules of the LUPI game are:

  • –Within a group, m persons individually and secretly choose a number between 1 and n.
  • –The winner is the one whose number is the smallest not chosen by anyone else. The winning number is called "LUPI number“.
  • If there is no unique smallest number, nobody wins.

Due to these rules, the LUPI game is located in a field of interest between strategy and chance for both mathematics as a subject and mathematics didactics.

Aus spieltheoretischer Sicht fällt das LUPI-Spiel in die Kategorie der statischen Spiele (vgl. Riechmann 2013, S. 21, S. 36ff.), bei denen die beteiligten Spielenden ihre Entscheidung gleichzeitig ohne Kenntnis der anderen Entscheidungen treffen und es daher auch als Spiel mit imperfekter Information bezeichnet wird. Es gibt ähnliche Spielvarianten – z. B. Schwedisches Lottospiel „Limbo“ (vgl. Östling et al. 2011), 2/3-Zahlenwahlspiel (vgl. Selten & Nagel 1998) – die ihrerseits in verschiedenen Wissenschaftsdisziplinen in den letzten Jahren theoretisch und experimentell untersucht wurden (vgl. für einen Überblick mit Verweis auf weitere Quellen Yamada & Hanaki 2016, S. 2–4). Für detaillierte mathematische Untersuchungen unter anderem zum Auffinden des spieltheoretisch wichtigen Nash-Gleichgewichts sei hier etwa auf Baek & Bernhardsson (2010) verwiesen, Ausführungen zu einer experimentellen Versuchsreihe von 50 Spielrunden mit 3–4 Personen und der Zahlenauswahl von 1–3 bzw. 1–4 siehe Yamada & Hanaki (2016). 

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From a game theory perspective, the LUPI game belongs to the category of static games (cf. Riechmann 2013, p. 21, p. 36ff.), in which the players involved make their decisions simultaneously without knowledge of the other decisions and is therefore also referred to as a game with imperfect information. There are similar game variants - e.g. the Swedish lottery game "Limbo" (cf. Östling et al. 2011), 2/3 number selection game (cf. Selten & Nagel 1998) - which have been theoretically and experimentally investigated in various scientific disciplines in recent years (cf. for an overview with reference to further sources Yamada & Hanaki 2016, pp. 2-4). For detailed mathematical studies, including on finding the Nash equilibrium, which is important in game theory, see Baek & Bernhardsson (2010); for explanations on an experimental series of 50 rounds of games with 3-4 people and the number selection of 1-3 or 1-4, see Yamada & Hanaki (2016).

 

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  • Baek, S. K. & Bernhardsson, S. (2010). Equilibrium solution to the lowest unique positive integer game. Fluctuation and Noise Letters, Vol. 09, No. 01 (S. 61–68).
  • Östling, R., J. T.-Y. Want, E. Y. Chou, C. F. Camerer (2011). Testing Game Theory in the Field: Swedish LUPI Lottery Games. American Economics Journal, Microeconomics 3, August 2011 (S. 1–33).
  • Riechmann, T. (2013). Spieltheorie. Vahlen.
  • Selten, R. & Nagel, R. (1998). Das Zahlenwahlspiel –Ergebnisse und Hintergrund. Spektrum der Wissenschaft, February 1998 (S. 16–22).
  • Yamada, T. & Hanaki, N. (2016). An Experiment on Lowest Unique Integer Games. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 463/2016 (S. 88–102).

 

Further recommended references on Lowest Unique Integer Games (LUPI, LUIG), Lowest Unique Bidding Auctions (LUBA) & Minority Games related to game theory (will be continuously updated):

  • Challet, D. & Zhang, Y.-C.  (1997). Emergence of cooperation and organization in an evolutionary game. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, vol. 246, issue 3, pp. 407-418.
  • Challet, D. & Zhang, Y.-C. (1998). On the minority game: Analytical and numerical studies. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, vol. 256, issue 3, pp. 514-532 .
  • Bottazzi, G. & Devetag, M.G. (2003). Expectations Structure in Asset Pricing Experiments. LEM Papers Series 2003/19, Laboratory of Economics and Management (LEM), Sant'Anna School of Advanced Studies, Pisa, Italy.
  • Bottazzi, G. & Devetag , M.G. (2003). A laboratory experiment on the minority game. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, Elsevier, vol. 324(1), pp. 124-132.
  • Chmura, T. & Pitz, T. (2006). Successful strategies in repeated minority games. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, vol. 363, issue 2, pp. 477-480 .
  • Devetag, G., Pancotto, F. & Brenner, T. (2011). The Minority Game Unpacked: Coordination and Competition in a Team-Based Experiment. Quaderni DSE Working Paper No. 770.
  • Linde, J, Sonnemans, J. & Tuinstra, J. (2014). Strategies and evolution in the minority game: A multi-round strategy experiment. Games and Economic Behavior, vol. 86, pp. 77-95.
  • Rapoport, A.; Otsubo, H.; Kim, B. & Stein, W. E. (2007). Unique Bid Auctions: Equilibrium Solutions and Experimental Evidence. SSRN Electronic Journal, 01/2007.
  • Houba, H.; Laan, D. & Veldhuizen, D. (2011). Endogenous entry in lowest-unique sealed-bid auctions. Theory and Decision, vol. 71, issue 2, pp. 269-295.
  • Pigolotti, S. & Bernhardsson, S.; Juul, J. & Galster, G. & Vivo, P. (2012). Equilibrium Strategy and Population-Size Effects in Lowest Unique Bid Auctions. Physical review letters. vol. 108, issue 8.

 

Zu den generellen Kernforderungen an eine schulische stochastische Grundbildung zählt u. a. die „Fähigkeit zur Interpretation und kritischen Bewertung stochastischer Informationen“ und „zur Modellierung stochastischer Phänomene, die mithilfe von Daten und/oder Wahrscheinlichkeitsmodellen“ auch in alltäglichen Kontexten beschrieben werden (Krüger et al. 2015, S. 2) mit dem Ziel, dass die Schülerinnen und Schüler im späteren Leben Entscheidungsprozesse reflektiert bewältigen (NCTM 2000, S. 48f. sowie Eichler & Vogel 2013). Ein Blick in die curricularen Vorgaben sowohl der Primar- als auch der Sekundarstufe in Deutschland verdeutlicht ebenfalls die Relevanz der oben genannten zentralen Forderungen für den modernen Stochastikunterricht (vgl. u. a. Bildungsstandards für das Fach Mathematik 2022).

Neben einigen fachwissenschaftlichen Untersuchungen existieren Anregungen oder Erfahrungen zum Einsatz des Spiels im Mathematikunterricht bislang nicht, wobei mit dem LUPI-Spiel die zuvor kurz dargestellten zentralen Forderungen an den Stochastikunterricht erfüllt werden können. Hier setzt das Kooperationsprojekt an und die grundlegenden Untersuchungsfragen lauten:

  • Inwieweit lassen sich die drei Ansätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung (subjektivistischer, frequentistischer und theoretischer Zugang) anhand eines einfachen Spiels wie LUPI mit Zufalls- und Strategieeinflüssen gewinnbringend kombinieren?
  • Inwieweit können die oben kurz beschriebenen zentralen Anforderungen an den Stochastikunterricht mit der Durchführung und Reflexion des LUPI-Spiels erfüllt werden?

Einen weiteren interessanten Blickpunkt stellt unter dem Fokus der Förderung des “Risikokompetent-Seins” (Gigerenzer 2014) die Verbindung von menschlichen Entscheidungen unter Risiko und/oder Ungewissheit und dem LUPI-Spiel im Spannungsfeld zwischen Strategie und Zufall dar. 

Der wissenschaftliche Begriff Risiko wird gemeinhin bestehend aus den beiden Kernkomponenten „Wahrscheinlichkeit ∙ Nutzen“ (Nikiforidou 2017) oder „Wahrscheinlichkeit ∙ Schweregrad des Schadens“ (Hansen & Hammann 2017) für ein zukünftiges Ereignis, das mit Unsicherheit behaftet ist, verwendet. Zu beachten ist daher, dass zwingend eine quantifizierbare Wahrscheinlichkeit anhand empirischer Beobachtung oder kausalem Wissen vorausgesetzt ist (Gigerenzer 2014). Wenn wie beim LUPI-Spiel keine/kaum eine Wahrscheinlichkeit quantifizierbar ist, gewinnt diese subjektive Komponente an Bedeutung. Dann handelt es sich nicht um Risiko im eigentlichen Sinn, sondern stattdessen um Ungewissheit (Gigerenzer 2014), was damit eine Zweiteilung des Unsicherheitskontextes ergibt, wobei der Begriff Risiko für das Quantifizierbare steht und die Ungewissheit diejenigen Situationen umfasst, in denen solche Wahrscheinlichkeiten nicht abgeleitet oder die Wahrscheinlichkeiten allenfalls auf subjektiver Basis unter Zuhilfenahme einfacher Faustregeln geschätzt werden können (Gigerenzer 2014) – Situationen, die selbst in der wissenschaftlichen Literatur zu „Risk Literacy“ bislang weniger Aufmerksamkeit erhalten haben (Aven, 2024).

  •  Inwiefern kann das LUPI-Spiel im Hinblick auf die Förderung der Entscheidungsfindung in Unsicherheitssituationen neben dem bislang vorrangig thematisierten quantifizierbaren Risiko für ein umfassendes Risikokompetent-Sein im Mathematikunterricht einen Beitrag leisten?

 

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The general core requirements for basic stochastic education at school include the "ability to interpret and critically evaluate stochastic information" and "to model stochastic phenomena that are described with the help of data and/or probability models" in everyday contexts (Krüger et al. 2015, p. 2) with the aim of enabling pupils to reflect on decision-making processes in later life (NCTM 2000, p. 48f. and Eichler & Vogel 2013). A look at the curricular requirements at both primary and secondary level in Germany also illustrates the relevance of the above-mentioned central requirements for modern stochastics lessons (see, for example, Educational Standards for Mathematics 2022).

Apart from a few scientific studies, there are no suggestions or experiences regarding the use of the game in mathematics lessons, although the LUPI game can fulfill the central requirements for stochastics lessons briefly described above. This is where this cooperation project comes in and the basic research questions are:

  • To what extent can the three approaches of probability theory (subjectivist, frequentist and theoretical approach) be profitably combined using a simple game such as LUPI with random and strategy influences?
  • To what extent can the central requirements for stochastics lessons briefly described above be met by playing and reflecting on the LUPI game?

Another interesting aspect, focussing on the development of ‘risk competence’ (Gigerenzer 2014), is the connection between human decisions under risk and/or uncertainty and the LUPI-game in the area of conflict between strategy and chance. 

The scientific term risk is generally used to refer to the two core components ‘probability ∙ benefit’ (Nikiforidou, 2017) or ‘probability ∙ severity of harm’ (Hansen & Hammann 2017) for a future event that is subject to insecurity. It should therefore be noted that a quantifiable probability based on empirical observation or causal knowledge is a necessary pre-condition for a risk (Gigerenzer 2014). If, as in the LUPI game, no/hardly any probability can be quantified by players, this subjective component becomes more important. Then it is not risk in the proper sense, but uncertainty instead (Gigerenzer 2014), which results in a dichotomy of the uncertainty context, whereby the term risk stands for the quantifiable and uncertainty comprises those situations in which such probabilities cannot be derived or the probabilities can at best be estimated on a subjective basis with the aid of simple rules (Gigerenzer 2014) - situations that have received less attention even in the scientific literature on ‘risk literacy’ to date (Aven, 2024).

  •  To what extent can the LUPI game contribute to the development of decision-making in situations of uncertainty in addition to the quantifiable risk that has been the main focus of mathematics lessons to date?

 

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  • Eichler, A. & Vogel, M. (2013). Leitidee Daten und Zufall: Von konkreten Beispielen zur Didaktik der Stochastik. Springer.
  • Gigerenzer, G. (2014). Risiko: Wie man die richtigen Entscheidungen trifft. Bertelsmann.
  • Hansen, J., & Hammann, M. (2017). Risc in Science Instruction: The Realist and Constructivist Paradigms of Risk. Science & Education, 26(7-9), 749-775.
  • Krüger, K., Sill, H.-D., Sikora, C. (2015). Didaktik der Stochastik in der Sekundarstufe I. Springer.
  • NCTM – The National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and standards for school mathematics
  • Nikiforidou, Z. (2017). Risk literacy: Concepts and pedagogical implications for early childhood education. Contemporary Issues in Early Childhood, 3, 322-332.
  • Sekretariat der Ständigen Konferenz der Kultusminister der Länder in der Bundesrepublik Deutschland (2022). Bildungsstandards für das Fach Mathematik (ESA und MSA).